[Time Series] 03. Seasonality
What is Seasonality?
시계열의 평균에 규칙적이고 주기적인 변화가 있을 때마다 계절성(seasonality) 을 나타낸다고 말합니다. 계절적 변화는 일반적으로 시계와 달력을 따라 하루, 일주일 또는 일 년에 걸쳐 반복되는 것이 일반적입니다. 계절성은 수일 또는 수년에 걸친 자연계의 주기 또는 날짜와 시간을 둘러싼 사회적 행동의 관습에 의해 주도되는 경우가 많습니다.
Seasonal patterns in four time series.
계절성을 모델링하는 두 가지 종류의 특징에 대해 알아보겠습니다. 첫 번째 종류인 지표는 매일 관찰되는 주간 계절과 같이 관찰 횟수가 적은 계절에 가장 적합합니다. 두 번째 종류인 푸리에 함수는 일별 관측값의 연간 시즌과 같이 관측값이 많은 시즌에 가장 적합합니다.
Seasonal Plots and Seasonal Indicators
이동 평균 플롯을 사용하여 시계열의 추세를 발견한 것처럼, 계절 플롯(seasonal plot) 을 사용하여 계절별 패턴을 발견할 수 있습니다.
계절 플롯은 관찰하고자 하는 “season”을 공통 기간으로 하여 시계열의 세그먼트를 플롯으로 표시합니다. 이 그림은 Wikipedia의 삼각법(trigonometry) 관련 문서의 일일 조회수에 대한 계절별 플롯을 보여줍니다. 이 문서의 일일 조회수는 일반적인 주간(weekly) 기간에 대해 플롯되어 있습니다.
There is a clear weekly seasonal pattern in this series, higher on weekdays and falling towards the weekend.
Seasonal indicators
계절 지표(Seasonal indicators) 는 시계열 수준에서 계절별 차이를 나타내는 이진 특징입니다. 계절 지표는 계절 기간을 범주형 특징으로 취급하고 원핫 인코딩을 적용하면 얻을 수 있는 것입니다.
요일을 원핫 인코딩하면 주간 계절 지표를 얻을 수 있습니다. 그러면 Trigonometry 시계열에 대한 주간 지표를 만들면 6개의 새로운 “더미” 특징이 생깁니다. (선형 회귀는 지표 중 하나를 삭제하면 가장 잘 작동합니다. 아래 프레임에서는 월요일을 선택했습니다.)
훈련 데이터에 계절 지표를 추가하면 모델이 계절 기간 내의 수치를 구별하는 데 도움이 됩니다:
Ordianry linear regression learns the mean values at each time in the season.
지표는 켜기/끄기 스위치 역할을 합니다. 언제든지 이러한 지표 중 최대 하나의 값만 1(켜짐)을 가질 수 있습니다. 선형 회귀는 Mon에 대한 기준값 2379를 학습한 다음 해당 날짜에 켜져 있는 지표의 값에 따라 조정되며, 나머지는 0이 되어 사라집니다.
Fourier Features and the Periodogram
지금 설명하는 종류의 특징은 지표가 비실용적일 수 있는 많은 관측에 걸친 긴 계절에 더 적합합니다. 각 날짜에 대한 특징을 만드는 대신 푸리에 함수는 몇 가지 특징만으로 계절 곡선의 전체적인 모양을 포착하려고 합니다.
Trigonometry 의 연간 계절에 대한 플롯을 살펴보겠습니다. 1년에 세 번 긴 위아래로 움직이는 움직임, 1년에 52번 짧은 주간 움직임 등 다양한 주파수가 반복되는 것을 볼 수 있습니다.
Annual seasonality in the Wiki Trigonometry series.
푸리에 함수로 포착하고자 하는 것은 한 계절 내의 이러한 주파수입니다. 이 아이디어는 모델링하려는 계절과 동일한 주파수를 갖는 주기적인 곡선을 훈련 데이터에 포함시키는 것입니다. 우리가 사용하는 곡선은 삼각 함수 사인과 코사인의 곡선입니다.
푸리에 함수(Fourier features) 는 사인과 코사인 곡선의 쌍으로, 가장 긴 곡선부터 시작하여 계절의 각 잠재적 주파수마다 한 쌍씩 있습니다. 연간 계절성을 모델링하는 푸리에 쌍은 연 1회, 연 2회, 연 3회 등의 빈도를 갖습니다.
The first two Fourier pairs for annual seasonality. Top: Frequency of once per year. Bottom: Frequency of twice per year.
이러한 사인/코사인 곡선 세트를 훈련 데이터에 추가하면 선형 회귀 알고리즘이 대상 계열의 계절 성분에 맞는 가중치를 알아냅니다. 이 그림은 선형 회귀가 4개의 푸리에 쌍을 사용하여 Wiki Trigonometry 시계열의 연간 계절성을 모델링하는 방법을 보여줍니다.
Top: Curves for four Fourier pairs, a sum of sine and cosine with regression coefficients. Each curve models a different frequency. Bottom: The sum of these curves approximates the seasonal pattern.
연간 계절성을 잘 추정하기 위해 8개의 피처(four sine / cosine pairs)만 필요했음을 알 수 있습니다. 수백 개의 피처(연중 각 일마다 하나씩)가 필요했던 계절 지표 방법과 비교해 보세요. 푸리에 피처로 계절성의 ‘주 효과’만 모델링하면 일반적으로 훈련 데이터에 훨씬 적은 수의 피처만 추가하면 되므로 계산 시간이 단축되고 과적합의 위험이 줄어듭니다.
Choosing Fourier features with the Periodogram
실제로 특징 세트에 몇 개의 푸리에 쌍을 포함해야 할까요? 이 질문에 대한 답은 주기 도표로 찾을 수 있습니다. 주기 도표(periodogram) 는 시계열에서 주파수의 강도를 알려줍니다.
구체적으로 그래프의 Y축 값은 (a ** 2 + b ** 2) / 2이며, 여기서 a와 b는 해당 주파수에서 사인과 코사인의 계수입니다(위의 푸리에 구성 요소 플롯에서와 같이).
Periodogram for the Wiki Tigonometry series.
왼쪽에서 오른쪽으로, 1년에 네 번, 분기별로 주기적으로 감소하는 주기도를 볼 수 있습니다. 그래서 연간 시즌을 모델링하기 위해 4개의 푸리에 쌍을 선택했습니다. 주별 빈도는 지표로 모델링하는 것이 더 좋으므로 무시합니다.
Computing Fourier features (optional)
푸리에 특징을 계산하는 방법을 아는 것이 푸리에 특징을 사용하는 데 필수적인 것은 아니지만, 세부 사항을 보면 더 명확해질 수 있으므로 아래의 셀은 시계열의 인덱스에서 푸리에 특징 집합을 도출하는 방법을 보여줍니다.
import numpy as np
def fourier_features(index, freq, order):
time = np.arange(len(index), dtype=np.float32)
k = 2 * np.pi * (1 / freq) * time
features = {}
for i in range(1, order + 1):
features.update({
f"sin_{freq}_{i}": np.sin(i * k),
f"cos_{freq}_{i}": np.cos(i * k),
})
return pd.DataFrame(features, index=index)
# Compute Fourier features to the 4th order (8 new features) for a
# series y with daily observations and annual seasonality:
#
# fourier_features(y, freq=365.25, order=4)
Example - Tunnel Traffic
터널 트래픽 데이터 집합을 다시 한 번 살펴보겠습니다. 이 셀은 데이터를 로드하고 seasonal_plot과 plot_periodogram이라는 두 가지 함수를 정의합니다.
from pathlib import Path
from warnings import simplefilter
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import seaborn as sns
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from statsmodels.tsa.deterministic import CalendarFourier, DeterministicProcess
simplefilter("ignore")
# Set Matplotlib defaults
plt.style.use("seaborn-whitegrid")
plt.rc("figure", autolayout=True, figsize=(11, 5))
plt.rc(
"axes",
labelweight="bold",
labelsize="large",
titleweight="bold",
titlesize=16,
titlepad=10,
)
plot_params = dict(
color="0.75",
style=".-",
markeredgecolor="0.25",
markerfacecolor="0.25",
legend=False,
)
%config InlineBackend.figure_format = 'retina'
# annotations: https://stackoverflow.com/a/49238256/5769929
def seasonal_plot(X, y, period, freq, ax=None):
if ax is None:
_, ax = plt.subplots()
palette = sns.color_palette("husl", n_colors=X[period].nunique(),)
ax = sns.lineplot(
x=freq,
y=y,
hue=period,
data=X,
ci=False,
ax=ax,
palette=palette,
legend=False,
)
ax.set_title(f"Seasonal Plot ({period}/{freq})")
for line, name in zip(ax.lines, X[period].unique()):
y_ = line.get_ydata()[-1]
ax.annotate(
name,
xy=(1, y_),
xytext=(6, 0),
color=line.get_color(),
xycoords=ax.get_yaxis_transform(),
textcoords="offset points",
size=14,
va="center",
)
return ax
def plot_periodogram(ts, detrend='linear', ax=None):
from scipy.signal import periodogram
fs = pd.Timedelta("365D") / pd.Timedelta("1D")
freqencies, spectrum = periodogram(
ts,
fs=fs,
detrend=detrend,
window="boxcar",
scaling='spectrum',
)
if ax is None:
_, ax = plt.subplots()
ax.step(freqencies, spectrum, color="purple")
ax.set_xscale("log")
ax.set_xticks([1, 2, 4, 6, 12, 26, 52, 104])
ax.set_xticklabels(
[
"Annual (1)",
"Semiannual (2)",
"Quarterly (4)",
"Bimonthly (6)",
"Monthly (12)",
"Biweekly (26)",
"Weekly (52)",
"Semiweekly (104)",
],
rotation=30,
)
ax.ticklabel_format(axis="y", style="sci", scilimits=(0, 0))
ax.set_ylabel("Variance")
ax.set_title("Periodogram")
return ax
data_dir = Path("../input/ts-course-data")
tunnel = pd.read_csv(data_dir / "tunnel.csv", parse_dates=["Day"])
tunnel = tunnel.set_index("Day").to_period("D")
일주일과 1년 동안의 계절별 플롯을 살펴보겠습니다.
X = tunnel.copy()
# days within a week
X["day"] = X.index.dayofweek # the x-axis (freq)
X["week"] = X.index.week # the seasonal period (period)
# days within a year
X["dayofyear"] = X.index.dayofyear
X["year"] = X.index.year
fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(2, 1, figsize=(11, 6))
seasonal_plot(X, y="NumVehicles", period="week", freq="day", ax=ax0)
seasonal_plot(X, y="NumVehicles", period="year", freq="dayofyear", ax=ax1);
이제 주기 도표를 살펴보겠습니다.
plot_periodogram(tunnel.NumVehicles);
주별 시즌은 강하고 연간 시즌은 약하다는 점에서 위의 계절별 플롯과 일치합니다. 주간 시즌은 지표로 모델링하고 연간 시즌은 푸리에 특징으로 모델링하겠습니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 보면 주기 그래프가 격월(6) 과 월간(12) 사이에서 떨어지므로 10개의 푸리에 쌍을 사용하겠습니다.
이전 추세 피처를 만들 때 사용한 것과 동일한 유틸리티인 DeterministicProcess를 사용하여 계절 피처를 만들겠습니다. 두 개의 계절 기간(주간 및 연간)을 사용하려면 그 중 하나를 ‘추가 기간’으로 인스턴스화해야 합니다:
from statsmodels.tsa.deterministic import CalendarFourier, DeterministicProcess
fourier = CalendarFourier(freq="A", order=10) # 10 sin/cos pairs for "A"nnual seasonality
dp = DeterministicProcess(
index=tunnel.index,
constant=True, # dummy feature for bias (y-intercept)
order=1, # trend (order 1 means linear)
seasonal=True, # weekly seasonality (indicators)
additional_terms=[fourier], # annual seasonality (fourier)
drop=True, # drop terms to avoid collinearity
)
X = dp.in_sample() # create features for dates in tunnel.index
특징 집합을 만들었으므로 모델을 맞추고 예측을 할 준비가 되었습니다. 90일 예측을 추가하여 모델이 학습 데이터를 넘어 어떻게 추정하는지 확인하겠습니다. 여기 코드는 이전 코드와 동일합니다.
y = tunnel["NumVehicles"]
model = LinearRegression(fit_intercept=False)
_ = model.fit(X, y)
y_pred = pd.Series(model.predict(X), index=y.index)
X_fore = dp.out_of_sample(steps=90)
y_fore = pd.Series(model.predict(X_fore), index=X_fore.index)
ax = y.plot(color='0.25', style='.', title="Tunnel Traffic - Seasonal Forecast")
ax = y_pred.plot(ax=ax, label="Seasonal")
ax = y_fore.plot(ax=ax, label="Seasonal Forecast", color='C3')
_ = ax.legend()
예측을 개선하기 위해 시계열로 할 수 있는 작업은 아직 더 많습니다. 다음 단원에서는 시계열 자체를 특징으로 사용하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 시계열을 예측의 입력으로 사용하면 시계열에서 흔히 볼 수 있는 또 다른 구성 요소인 주기를 모델링할 수 있습니다.
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