LEE CHANWOO

📝 Blog 2024 version 1.6.1
🔖 NOV 1, 2024

4 분 소요

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Perceptron Learning Algorithm

  • 1960년대 최초의 신경망 학습 모델
  • 단순 ,제한적(단층모델)
  • 다층모델과 기본 개념은 유사함. 좋은 학습 도구
  • 현재도 많이 응용됨

Neural Network

  • Nodes(units) connected by links
  • Link has a numeric weight
  • Input function
    • $net_i = \sum_jw_{ij}x_j$
  • Activation function
    • $g(net_i)$
  • Output(activation)
    • $out_i = g(net_i)$

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Activation Functions

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Perceptron Node – Threshold Logic Unit(Step function)

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Two Input Case

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  • $y=hardlim(x)$
    • $y=1, x\geqq0$
    • $y=0, x<0$

Equivalent perceptiron

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  • $out=hardlim(\vec{x} \dot \vec{w})$

Two Input case

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Desicion boundary (결정 경계)

  • $W^TX-\theta = 0$, $W \dot X = \theta$
    • 결정경계의 모든 점들은 가중치 벡터와 동일한 내적 ($\theta$)을 가짐
  • 따라서 경계의 모든 점은 가중치 벡터에 동일한 투영을 가짐. 가중치 벡터에 수직인 직선에 놓임.

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  • 가중치 벡터는 결정경계에 직교함
  • 가중치 벡터는 1을 출력하는 영역 방향을 가르킴
    • 만약 w가 반대방향을 가르키면, 모든 입력벡터와의 내적은 반대부호를 가짐-반대 라벨을 갖는 동일한 분류결과
  • 임계치($\theta$)는 경계의 위치를 결정함
    • solve for $W^TX-\theta = 0$ to find the decision boundary
  • 즉, 기울기는 가중치이고 절편은 결정경계에 의해서 결정


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Perceptron Learning Algorithm : Example

  • 목적함수가 최대가 되도록 가중치 학습
  • 어떤 목적함수를 사용할 것인가?
  • 어떤 학습 알고리즘을 사용할 것인가?

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First Training Instance

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Second Training Instance

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Perceptron Learning Rule

  • $\Delta{w_i} = c(t – z)x_i$
  • $w_i$ 는 입력 $i$ 에서 퍼셉트론 노드로 가중치, $c$는 학습률, $t$는 현재 예의 타겟값, $z$는현재 출력, $x_i$ 는 입력
  • Least perturbation principle
    • 에러가 있을 때만 가중치 수정
    • 현재 패턴을 올바로 분류하기 위한 큰 학습률이 아닌 적은 학습률 $c$를 사용
    • $x_i$ 로 스케일
  • n 개 입력노드를 갖는 퍼셉트론 생성
  • 훈련집합의 각 패턴에 대하여 퍼셉트론 학습규칙을 적용
  • 전체 훈련집합에 대한 반복을 한 epoch이라고 함
  • 전체 훈련집합 에러가 감소할 때까지 학습을 반복
  • 퍼셉트론 수렴정리: 만약 해가 있다면, 유한 시간 내에 해(가중치)를 발견

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Augmented Pattern Vectors

  • 1 0 1 -> 0
  • 1 0 0 -> 1

Augmented Version

  • 1 0 1 1 -> 0
  • 1 0 1 1 -> 1
    • 임계치를 다른 가중치처럼 취급. 출력을 위,아래로 bias를 줌으로 bias로 부르기도 함


Perceptron Rule Example

  • 3개 입력과 bias 를 가정(net 가 0보다 크면 출력은 1, 아니면 0)
  • 모든 초기 가중치를 0, 학습률을 1 로 가정: $\Delta w_i = c(t – z) x_i$
  • Training set
    • 0 0 1 -> 0
    • 1 1 1 -> 1
    • 1 0 1 -> 1
    • 0 1 1 -> 0

|Pattern|Target|Weight Vector|Net|Output|$\Delta W_i = c(t-z)x_i$| |—|—|—|—|—|—| |0 0 1 1|0|0 0 0 0|0|0|0 0 0 0| |1 1 1 1|1|0 0 0 0|0|0|1 1 1 1| |1 0 1 1|1|1 1 1 1|3|1|0 0 0 0| |0 1 1 1|0|1 1 1 1|3|1|0 -1 -1 -1| |one epoch|||||| |0 0 1 1|0|1 0 0 0|0|0|0 0 0 0| …


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Linear Separability

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Limited Functionality of Hyperplane

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Perceptron Limitations

  • 단층 퍼셉트론은 선형분리가능한 문제만 학습가능
  • AND 함수는 선형분리가능, XOR함수는 불가능.


  • Perceptrons ( in this context of limitations, they refer to single layer perceptrons) can learn many Boolean functions:
    • AND, OR, NAND, NOR, but not XOR


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  • 구현해보기(시험에 나옴)


Linear Separability

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Perceptron Limitations

  • Linearly Inseparable Problems

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  • Multi-layer perceptron can solve these problems


How to Handle Multi-Class Output

  • 이진 분류를 위한 학습모델(퍼셉트론, SVM)등의 주제
  • 각 출력 클래스에 대해 한 개의 퍼셉트론 생성, 훈련집합에서 모든 다른 클래스들을 음의 예제로 간주
    • 모든 퍼셉트론에 대해 입력 데이터를 가하여 1의 출력 값을 갖는 클래스로 결정
    • 만약 여러 출력이 동시에 1이면, net 가 최대인 퍼셉트론 선택
    • point to class (among all $g_j(x) > 0$) to whose hyperplane the point is most distant. (ref. Alpaydin)
    • Cf. softmax with logistic regression


UC Irvine Machine Learning Data Base Iris Data Set

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Objective Functions: Accuracy/Error

  • 특정 퍼셉트론 모델(즉,특정 가중치를 갖는 퍼셉트론) 의 성능 평가
  • 데이터 셋에 대한 모델의 정확도 측정
    • Classification accuracy = # Correct/Total instances
    • Classification error = # Misclassified/Total instances (= 1 – acc)
  • 일반적으로 손실함수(aka 경비,에러)를 최소화함
  • 실수값을 갖는 출력과 타켓
    • Pattern error = Target – output
      • 일반적인 방식 제곱오차 = $\sum(t_i – z_i)^2$ (L2 loss)
      • 에러의 상쇄방지: $\sum t_i – z_i $ (L1 loss)
    • 전체 제곱오차의 합(SSE) = $\sum \sum (t_i – z_i)^2$


Mean Squared Error

  • 평균제곱오차(MSE)- SSE/n : n은 데이터 집합의 예의 개수
    • 크기가 다른 데이터집합의 오차를 정규화
    • MSE 는 패턴당 평균 제곱오차
  • Root Mean Squared Error (RMSE) –MSE 의 제곱근
    • 오차의 단위를 원래값으로 복원
      • SSE 왜냐하면 SSE 는 오차를 제곱
    • RMSE는 출력과 타겟과의 평균거리(오차)


Gradient Descent Learning: Minimize (Maximize) the Objective Function

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Deriving a Gradient Descent Learning Algorithm


  • 목표는 전체 오차(혹은 다른 목적함수)를 줄이도록 매 반복마다 가중치 수정
  • 전체 제곱오차의 합(가능한 목적함수)
    • $E : \sum (t_i – z_i)^2$
  • $\frac{fE}{w_{ij}}$ 의 반대방향으로 가중치 수정하는 알고리즘
  • 수식이 구해지면 gradient descent learning algorithm(경사하강법) 적용가능

Batch vs Stochastic Update

  • 그래디언트를 구하려면 훈련집합 전체에 대하여 에러를 합하고, 각 epoch 의 마지막에서만 가중치를 수정해야 함
  • Batch (gradient) vs stochastic (on-line, incremental)
    • stochastic algorithm에서는 각 입력 패턴마다 가중치를 수정함(이때는 참 그래디언트를 따른 수정은 아님
    • Stochastic 는 대부분 좀더 효율적이며, 사용에 적합Backpropagation 알고리즘에서 다시 다룸


(참고) Linear Models which are Non-Linear in the Input Space

  • 현재까지는 를 사용함
  • 입력을 비선형방식으로 전처리 한 후 퍼셉트론에 연결
  • 퍼셉트론의 학습 알고리즘을 그대로 사용, 입력만 다름 - SVM
  • 예를 들면, 두 개의 입력 x,y ( 그리고 bias) 문제에 대해, 입력 x2,y2, x·y 을 추가함
  • 퍼셉트론은 5차원 과제로 생각하며, 이 5차원에서 선형문제로간주함
  • 이때 원래의 2-d 입력 공간에서의 결정경계면은?


Quadric (2차) Machine

  • All quadratic surfaces (2nd order)
  • ellipsoid
  • parabola
  • etc.
  • 해결 가능한 문제가 급격히 증가
  • 여전히 많은 문제들이 quadrically separable 하지 못함
  • 3차원 혹은 고차원 특징들을 사용할 수 있으나, 가능한 특징의 개수는 지수적으로 증가.다층신경망은 입력공간으로부터 고차원 특징을 자동으로 발견하도록 함

Simple Quadric Example

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  • 퍼셉트론은 f1 만을 이용해 데이터를 분리 할 수 없음.
  • 퍼셉트론에 다른 특징을 추가할 수 있는가?


  • f_2 = f_1^2

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  • 퍼셉트론은 f1 만을 이용해 데이터를 분리 할 수 없음.
  • 퍼셉트론에 f_2 = f_1^2 특징을 추가
  • 단지 특징만을 사용하면서, 데이터를 분리하기 위해 이차원 결정경계면을 구현한 것으로 생각할 수 있음

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참고